Question

已知數(shù)列和滿足：，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).
（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，求證：不成等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列.

解析試題分析：（1）證明否定性命題，可用反證法.如本題中可假設(shè)存在，使成等比數(shù)列，則可由來(lái)求，若求不出，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，結(jié)論是不存在，，但這個(gè)式子化簡(jiǎn)后為，不可能成立，即不存在；（2）要判定是等比數(shù)列，由題意可先求出的遞推關(guān)系，，這時(shí)還不能說(shuō)明就是等比數(shù)列，還要求出，，只有當(dāng)時(shí)，數(shù)列才是等比數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列.
（1）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,
即矛盾.
所以不成等比數(shù)列.          6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8b/4/1zmlr3.png" style="vertical-align:middle;" />
        9分
又,
所以當(dāng)，，(為正整數(shù))，此時(shí)不是等比數(shù)列：  11分
當(dāng)時(shí)，，由上式可知，∴(為正整數(shù)) ，
故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.    14分
考點(diǎn)：（1）反證法；（2）等比數(shù)列的判定.