【題目】如圖,在直四棱柱中,,:
(1)求證:平面;
(2)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫出的解析式;(直接寫出答案,不必說明理由)
【答案】(1)詳見解析:(2)4種不同的拼接方案,f(k)
【解析】
(1)取DC的中點(diǎn)E,連接BE,可證明四邊形ABED是平行四邊形,再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD,即CD⊥AD,又側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,可得AA1⊥DC,利用線面垂直的判定定理即可證明.
(2)由題意可與左右平面ADD1A1,BCC1B1,上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案,新四棱柱共有此4種不同方案.通過比較即可得出f(k).
(1)證明:取DC的中點(diǎn)E,連接BE,∵AB∥ED,AB=ED=3k,
∴四邊形ABED是平行四邊形,
∴BE∥AD,且BE=AD=4k,∴BE2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2,∴∠BEC=90°,∴BE⊥CD,
又∵BE∥AD,∴CD⊥AD.
∵側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,∴AA1⊥CD,
∵AA1∩AD=A,∴CD⊥平面ADD1A1.
(2)由題意可與左右平面ADD1A1,BCC1B1,上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案.
通過比較即可得出f(k).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,已知,,平面平面,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),,連接.
(1)若,并異面直線與所成角的余弦值的大小;
(2)若二面角的余弦值的大小為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(2,2),圓,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,若橢圓上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形中,面積最大為1.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓的交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,證明:直線與圓相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,D(0,2)為橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn),F為橢圓C的右焦點(diǎn),線段DF的延長(zhǎng)線與橢圓C相交于點(diǎn)E,且|DF|=3|EF|.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OA與OB的斜率之積為-,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)是正方體棱上一點(diǎn),.
①若,則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______;
②若滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6,則的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是,且各次射擊的結(jié)果互不影響.
(Ⅰ)假設(shè)這名射手射擊次,求有次連續(xù)擊中目標(biāo),另外次未擊中目標(biāo)的概率;
(Ⅱ)假設(shè)這名射手射擊次,記隨機(jī)變量為射手擊中目標(biāo)的次數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年的天貓“雙11”交易金額又創(chuàng)新高,達(dá)到2684億元,物流爆增.某機(jī)構(gòu)為了了解網(wǎng)購(gòu)者對(duì)收到快遞的滿意度進(jìn)行調(diào)查,對(duì)某市5000名網(wǎng)購(gòu)者發(fā)出滿意度調(diào)查評(píng)分表,收集并隨機(jī)抽取了200名網(wǎng)購(gòu)者的調(diào)查評(píng)分(評(píng)分在70~100分之間),其頻率分布直方圖如圖,評(píng)分在95分及以上確定為“非常滿意”.
(1)求的值;
(2)以樣本的頻率作概率,試估計(jì)本次調(diào)查的網(wǎng)購(gòu)者中“非常滿意”的人數(shù);
(3)按分層抽樣的方法,從評(píng)分在90分及以上的網(wǎng)購(gòu)者中抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)地選取2人,求至少選到一個(gè)“非常滿意”的概率.
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