【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是正方體棱上一點(diǎn)，.

①若，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______；

②若滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，則的取值范圍是______.

【答案】4

【解析】

（1）由題意可得點(diǎn)是以為焦距，以為長(zhǎng)半軸的橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，可求解；

（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊，以及點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè)時(shí)，短半軸范圍，即可求解.

（1）正方體的棱長(zhǎng)為，

是以為焦距，以為長(zhǎng)半軸的橢圓，

在正方體的棱上，應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，

結(jié)合正方體的性質(zhì)可得，滿足條件的點(diǎn)為，

以及棱各有一點(diǎn)滿足條件，

故滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；

（2），

當(dāng)橢圓短半軸時(shí)，橢圓與棱,

各有一個(gè)交點(diǎn)，與其它棱無(wú)交點(diǎn)，滿足題意，

當(dāng)時(shí)，由（1）得不合題意.

當(dāng)時(shí)，根據(jù)正方體的性質(zhì)，

至多只有4個(gè)點(diǎn)在棱上，不合題意；

當(dāng)時(shí)，橢圓與棱

各有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意， ，

；

當(dāng)，橢圓至多與正方體的棱有4個(gè)交點(diǎn)，不合題意.

綜上 或.

故答案為:（1）4；（2）

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】（本小題滿分12分）

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且， .

（I）求證：平面 平面；

（II）求二面角的余弦值．

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【題目】某工廠有甲，乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人人，乙車間有工人人，為比較兩個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作第二組，并對(duì)他們中每位工人生產(chǎn)完成的一件產(chǎn)品的事件（單位：）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照進(jìn)行分組，得到下列統(tǒng)計(jì)圖.

分別估算兩個(gè)車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間少于的人數(shù)；

分別估計(jì)兩個(gè)車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間的平均值，并推測(cè)車哪個(gè)車間工人的生產(chǎn)效率更高？

從第一組生產(chǎn)時(shí)間少于的工人中隨機(jī)抽取人，求抽取人中，至少人生產(chǎn)時(shí)間少于的概率.

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【題目】如圖，在直四棱柱中，，：

（1）求證：平面；

（2）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式；（直接寫出答案，不必說(shuō)明理由）

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【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;

(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與動(dòng)圓圓心C的軌跡交于A,B兩點(diǎn),求證:是一個(gè)定值.

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【題目】如圖，在三棱錐中平面平面，.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若點(diǎn)E為中點(diǎn)，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】蘋果可按果徑（最大橫切面直徑，單位：.）分為五個(gè)等級(jí)：時(shí)為1級(jí)，時(shí)為2級(jí)，時(shí)為3級(jí)，時(shí)為4級(jí)，時(shí)為5級(jí).不同果徑的蘋果，按照不同外觀指標(biāo)又分為特級(jí)果、一級(jí)果、二級(jí)果.某果園采摘蘋果10000個(gè)，果徑均在內(nèi)，從中隨機(jī)抽取2000個(gè)蘋果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，圖2為抽取的樣本中果徑在80以上的蘋果的等級(jí)分布統(tǒng)計(jì)圖.

（1）假設(shè)服從正態(tài)分布，其中的近似值為果徑的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替），，試估計(jì)采摘的10000個(gè)蘋果中，果徑位于區(qū)間的蘋果個(gè)數(shù)；

（2）已知該果園今年共收獲果徑在80以上的蘋果，且售價(jià)為特級(jí)果12元，一級(jí)果10元，二級(jí)果9元.設(shè)該果園售出這蘋果的收入為，以頻率估計(jì)概率，求的數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則

，，.

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(2)若直線與方程H所表示的圖像交于E，F兩點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)．若OG平分弦EF，且，，試判斷四邊形OEGF形狀并證明．

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下圖為隨機(jī)抽取的打包工每天需要打包數(shù)量的頻率分布直方圖，以打包量的頻率作為各打包量發(fā)生的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）.

（1）（i）以每天打包量為自變量，寫出乙公司打包工的收入函數(shù)；

（ii）若打包工小李是乙公司員工，求小李一天收入不低于324元的概率；

（2）某打包工在甲、乙兩個(gè)快遞公司中選擇一個(gè)公司工作，如果僅從日平均收入的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為該打包工作出選擇，并說(shuō)明理由.

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