【題目】已知橢圓的離心率為，若橢圓上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形中，面積最大為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與橢圓的交于兩點，為坐標(biāo)原點，且，證明：直線與圓相切.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓上點為短軸端點時所給三角形面積最大可得，結(jié)合離心率和橢圓的關(guān)系，構(gòu)造方程組求得，進而得到橢圓方程；

（2）①當(dāng)的斜率存在時，設(shè)方程與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理的形式；利用垂直關(guān)系可得向量數(shù)量積等于零，代入韋達定理的結(jié)論整理可得；利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離，代入可求得；②當(dāng)的斜率不存在時，可求得方程，易知其與圓相切；綜合兩種情況可得結(jié)論.

（1）橢圓上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形中，面積最大時橢圓上的點為短軸端點

，又，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，

①當(dāng)的斜率存在時，設(shè)

由得：

則，

又

，即滿足

到直線的距離

又圓的半徑

直線與圓相切

②當(dāng)的斜率不存在時，所在的兩條直線分別為

與橢圓方程聯(lián)立可求得交點橫坐標(biāo)為或

可得到所在的直線為：或

直線與圓相切

綜上所述：當(dāng)時，直線與圓相切

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系平面上的一列點，，…，，記為，若由構(gòu)成的數(shù)列滿足，，其中為與軸正方向相同的單位向量，則稱為點列.

（1）判斷，，，…，，是否為點列，并說明理由；

（2）若為點列.且點在點的右上方，（即）任取其中連續(xù)三點，，判斷的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并給予證明；

（3）若為點列，正整數(shù)，滿足.求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】檳榔原產(chǎn)于馬來西亞，中國主要分布在云南、海南及臺灣等熱帶地區(qū)，在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材，在南方一些少數(shù)民族還有將果實作為一種咀嚼嗜好品，但其被世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機構(gòu)列為致癌物清單Ⅰ類致癌物.云南某民族中學(xué)為了解，兩個少數(shù)民族班學(xué)生咀嚼檳榔的情況，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學(xué)進行調(diào)查，將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.

（1）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為，求的概率；

（2）從所有咀嚼檳榔顆數(shù)在20顆以上（包含20顆）的同學(xué)中隨機抽取3人，求被抽到班同學(xué)人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的短軸端點為，，點是橢圓上的動點，且不與，重合，點滿足，.

（Ⅰ）求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠有甲，乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人人，乙車間有工人人，為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作第二組，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成的一件產(chǎn)品的事件（單位：）進行統(tǒng)計，按照進行分組，得到下列統(tǒng)計圖.

分別估算兩個車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于的人數(shù)；

分別估計兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值，并推測車哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高？

從第一組生產(chǎn)時間少于的工人中隨機抽取人，求抽取人中，至少人生產(chǎn)時間少于的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入，，則輸出的等于（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，，：

（1）求證：平面；

（2）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式；（直接寫出答案，不必說明理由）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中平面平面，.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若點E為中點，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線Γ的方程為y2＝4x，點P的坐標(biāo)為（1，1）．

（1）過點P，斜率為﹣1的直線l交拋物線Γ于U，V兩點，求線段UV的長；

（2）設(shè)Q是拋物線Γ上的動點，R是線段PQ上的一點，滿足2，求動點R的軌跡方程；

（3）設(shè)AB，CD是拋物線Γ的兩條經(jīng)過點P的動弦，滿足AB⊥CD．點M，N分別是弦AB與CD的中點，是否存在一個定點T，使得M，N，T三點總是共線？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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