Question

某學校組織了一次安全知識競賽，現(xiàn)隨機抽取20名學生的測試成績，如下表所示（不低于90分的測試成績稱為“優(yōu)秀成績”）：

79	90	82	80	84	95	79	86	89	91
97	86	79	78	86	77	87	89	83	85

（Ⅰ）若從這20人中隨機選取3人，求至多有1人是“優(yōu)秀成績”的概率；
（Ⅱ）以這20人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù)，若從該校全體學生中（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“優(yōu)秀成績”學生的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：

分析：（Ⅰ）從這20人中隨機選取3人共有

C

3 20

種不同情況，其中至多有1人是“優(yōu)秀成績”包括沒有“優(yōu)秀成績”和有1個“優(yōu)秀成績”，利用排列組合公式，求出滿足條件的情況個數(shù)，代入古典概型公式，可得答案．
（Ⅱ）抽到“優(yōu)秀成績”學生的概率P=

1

5

，而ξ可以取0，1，2，3，利用獨立事件概率公式，可求出ξ的分布列，代入數(shù)學期望公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由表知：“優(yōu)秀成績”有4人，
設“從這20人中隨機選取3人，至多有1人是“優(yōu)秀成績””為事件A
則P（A）=

C 3 16

C 3 20

+

C 2 16 C 1 4

C 3 20

=

52

57

．     …（5分）
（Ⅱ）由樣本估計總體可知抽到“優(yōu)秀成績”學生的概率P=

1

5

． …（6分）
ξ可以取0，1，2，3        …（7分）
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

5

)0(

4

5

)3=

64

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

5

•(

4

5

)2=

48

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

•(

1

5

)2•

4

5

=

12

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

•(

1

5

)3•(

4

5

)0=

1

125

．
ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

∴E（ξ）=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

   …（12分）

點評：本題考查的知識點是離散型隨機變量的期望，古典概型，是概率與統(tǒng)計的綜合應用，難度中檔．