Question

已知函數(shù)f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a為常數(shù).

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)可以坐幾條直線與曲線y＝f（x）相切？說明理由.

 

Answer 1

（1）f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）一條

【解析】試題分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)判定單調(diào)區(qū)間，注意對(duì)參數(shù)a的討論；（2）設(shè)出切點(diǎn)，用參數(shù)表示出切線方程，再根據(jù)切線過原點(diǎn)，求出參數(shù)值，有幾個(gè)不同的參數(shù)值，就有幾條切線.

試題解析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?,＋∞） 1分

由得 2分

，（舍去）. 1分

所以f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. 2分

（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為 1分

因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得（※）. 1分

設(shè)，則，

所以h（t）在區(qū)間（0,＋∞）內(nèi)單調(diào)遞增. 2分

又h（1）＝0，故方程（※）有唯一實(shí)根t＝1， 2分

從而滿足條件的切線只有一條. 1分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義