Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n-2a_n+n=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1）+1（n∈N^*），在b_k與b_k+1之間插入2^k（k∈N^*）個(gè)2，得到一個(gè)新的數(shù)列{c_m}．是否存在正整數(shù)m使得數(shù)列{c_m}的前m項(xiàng)的和T_m=2014？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）在數(shù)列遞推式中取n=1求得a₁=1，取n=n+1得另一遞推式，作差后可得{a_n+1}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₂（a_n+1）+1，由題意得到b_k（含b_k項(xiàng)）前的所有項(xiàng)的和，再由T_m=2014求得m的值．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n-2a_n+n=0  ①得：
S_n+1-2a_n+1+（n+1）=0  ②
②-①得，a_n+1+1=2（a_n+1）．
又在S_n-2a_n+n=0中取n=1得，a₁=1，
∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴an+1=2n，
即an=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=log₂（a_n+1）+1=log2(2n-1+1)+1=n+1．
則在數(shù)列{c_m}中，b_k（含b_k項(xiàng)）前的所有項(xiàng)的和是：
（2+3+…+k+1）+（2¹+2²+…+2^n-1）=

k(k+3)

2

+2k+1-4．
當(dāng)k=9時(shí)，其和是54+2¹⁰-4=1074＜2014，
當(dāng)k=10時(shí)，其和為65+2¹¹-4=2109＞2014．
又∵2014-1074=940=2×470＜2×2⁹．
∴存在正整數(shù)m使得T_m=2014，
此時(shí)m=9+（2¹+2²+…+2⁸）+470=989．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．