Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l過(guò)點(diǎn)N（4，0），傾斜角為α．
（1）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程，及當(dāng)α=

π

2

時(shí)，直線l的極坐標(biāo)方程l′．
（2）已知從極點(diǎn)O作直線m與直線l′相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使|OM|•|OP|=4，求點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明P的軌跡是什么曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）直線l過(guò)點(diǎn)N（4，0），傾斜角為α，可得直線l的參數(shù)方程；
利用（2）在極坐標(biāo)系中設(shè)出M和P的極坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，表示出|OM|•|OP|，因?yàn)閨OM|•|OP|=4，加上條件l：pcosθ=4，列出方程求出ρ₂即可．

解答： 解：（1）∵直線l過(guò)點(diǎn)N（4，0），傾斜角為α，
∴直線l的參數(shù)方程為

x=4+tcosα y=tcosα

（t為參數(shù)），
當(dāng)α=

π

2

時(shí)，直線l的極坐標(biāo)方程l′：ρ=4cosθ．
（2）設(shè)M（ρ₁，θ），P（ρ₂，θ），
則M的直角坐標(biāo)為（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），P的直角坐標(biāo)為（ρ₂cosθ，ρ₂sinθ）
|OM|•|OP|=ρ₁ρ₂cos²θ+ρ₁ρ₂sin²θ，ρ₁cosθ=4，
所以|OM|•|OP|=4ρ₂cosθ+

4

cosθ

ρ₂sin²θ=3，
所以ρ₂=

1

cosθ+tanθsinθ

=cosθ
所以點(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)（1，0），傾斜角為

π

2

的直線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，考查學(xué)生極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，以及怎樣求點(diǎn)的軌跡方程的方法．