Question

18．平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}=4$，點(diǎn)P在邊CD上，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值是8．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求出A=60°，再建立坐標(biāo)系，得到$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x（x-4）+3=x²-4x+3=（x-2）²-1，構(gòu)造函數(shù)f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域m，問題得以解決．

解答 解：∵平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}=4$，點(diǎn)P在邊CD上，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠A=4，∴cosA=$\frac{1}{2}$，∴A=60°，
以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂線為y軸，
建立如圖所示的坐標(biāo)系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，$\sqrt{3}$），
設(shè)P（x，$\sqrt{3}$），則1≤x≤5，∴$\overrightarrow{PA}$=（-x，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（4-x，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x（x-4）+3=x²-4x+3=（x-2）²-1，
設(shè)f（x）=（x-2）²-1，則f（x）在[1，2）上單調(diào)遞減，在[2，5]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2）=-1，f（x）_max=f（5）=8，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$ 的取值范圍是[-1，8]，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值是8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的坐標(biāo)的數(shù)量積和函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，屬于中檔題．