Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，有以下結(jié)論：
①2是函數(shù)f（x）的一個周期；　　　　　　　　
②函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為0；　　　
④當(dāng)x∈（3，4）時，f（x）=2^3-x．
其中，正確結(jié)論的序號是①②④．（請寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 ①利用抽象表達(dá)式，將x替換為x+1，即可由周期定義判斷①的正誤；
②利用函數(shù)的周期性，函數(shù)在[0，1]和[2，3]上的單調(diào)性相同；
③先求函數(shù)在x∈[0，1]時的值域，再利用對稱性和周期性即可求出函數(shù)的值域；
④設(shè)x∈[3，4]，則4-x∈[0，1]，f（4-x）=（$\frac{1}{2}$）x-3=f（-x）=f（x）．

解答 解：①∵對任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正確
②∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）1-x，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，故②正確；
函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=1，最小值為f（0）=$\frac{1}{2}$，故③不正確；
設(shè)x∈[3，4]，則4-x∈[0，1]，f（4-x）=（$\frac{1}{2}$）x-3=f（-x）=f（x），故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題綜合考查了函數(shù)的周期性定義及其證明，利用函數(shù)的對稱性和周期性判斷函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱軸的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．