試題分析:法一:空間向量法。(1)以
為坐標原點,以
所在直線分別為
軸建立空間直角坐標系。根據(jù)已知條件得點的坐標,再得向量的坐標。用向量數(shù)量積公式求向量
所成角的余弦值,但應(yīng)注意空間兩異面直線所成的角為銳角或直角,所以兩異面
和
所成角的余弦值為向量
所成角的余弦值的絕對值。(2)根據(jù)題意設(shè)
,根據(jù)
,可得
的值,根據(jù)比例關(guān)系即可求得
的值。法二:普通方法。(1)根據(jù)異面直線所成角的定義可過
點作
//
交
于
,則
(或其補角)就是異面直線
與
所成的角. 因為
//
且
//
,則四邊形
為平行四邊形,則
,
,故可在
中用余弦定理求
。(2)由
可得
,過
作
,
為垂足。易得證
平面
,可得
,從而易得證
//
,可得
,即可求
的值。
試題解析:解法一:
(1)如圖所示,以
點為原點建立空間直角坐標系
,
則
故
故異面直線
與
所成角的余弦值為
.
(2)設(shè)
在平面
內(nèi)過
點作
,
為垂足,則
,∴
解法二:
(1)在平面
內(nèi),過
點作
//
交
于
,連結(jié)
,則
(或其補角)就是異面直線
與
所成的角.
在
中,
由余弦定理得,
∴異面直線
與
所成角的余弦值為
.
(2)在平面
內(nèi),過
作
,
為垂足,連結(jié)
,又因為
∴
平面
,
∴
由平面
平面
,∴
平面
∴
//
由
得
,∴
,∴
.