Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中點，將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90°，得到梯形ABC′D′(如圖)．

(1)求證：AC⊥平面ABC′；
(2)求證：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．

Answer 1

(1)見解析(2)見解析（3）-

(1)證明　∵AD＝BC，N是BC的中點，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四邊形ANCD是平行四邊形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，
∴四邊形ANCD是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.
(2)證明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N?平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.
(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.
如圖建立空間直角坐標系，

設(shè)AB＝1，則B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，
N，∴′＝(－1,0，)，′＝(0，－，)，設(shè)平面C′NC的法向量為n＝(x，y，z)，則即
取z＝1，則x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)．
∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD與AN交于點O，O則為AN的中點，O，∴平面C′AN的法向量＝.
∴cos〈n，〉＝＝，
由圖形可知二面角A­C′N­C為鈍角，
所以二面角A­C′N­C的余弦值為－