Question

如圖，三角形ABC中，AC=BC=

2

2

AB，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V．

Answer 1

（I）證法一：取BE的中點(diǎn)H，連接HF、GH，（如圖）

∵G、F分別是EC和BD的中點(diǎn)
∴HG∥BC，HF∥DE，（2分）
又∵ADEB為正方形∴DE∥AB，從而HF∥AB
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC（5分）
證法二：取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N連接GM、FN、MN
（如圖）

∵G、F分別是EC和BD的中點(diǎn)
∴

GM∥BE，且GM= 1 2 BE， NF∥DA，且NF= 1 2 DA

（2分）
又∵ADEB為正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG為平行四邊形
∴GF∥MN，又MN?平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
證法三：連接AE，
∵ADEB為正方形，
∴AE∩BD=F，且F是AE中點(diǎn)，（2分）
∴GF∥AC，
又AC?平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
（Ⅱ）∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB，∴GF∥平面ABC（5分）
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分）
∴BE⊥AC
又∵CA²+CB²=AB²
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE（9分）
（Ⅲ）連接CN，因?yàn)锳C=BC，∴CN⊥AB，（10分）
又平面ABED⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴CN=

1

2

AB=

1

2

，（12分）
∵C-ABED是四棱錐，
∴V_C-ABED=

1

3

SABED•CN=

1

3

×1×

1

2

=

1

6

（14分）