如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．
（1）求直線BE和直線CD所成角的余弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．
（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由于AB∥CD，
故∠ABE（或其補(bǔ)角）即為直線BE和直線CD所成角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則由E是棱DD1的中點(diǎn)，可得AB=1，BE=
BD2+DE2
=
3
2
，
在Rt△ABE中，由余弦定理求得cos∠ABE=
AB
AE
=
2
3
．
（II）設(shè)AB1∩A1B=O，取C1D1中點(diǎn)F，連接OE、EB、B1F．根據(jù)三角形中位線定理，得EF∥C1D且EF=
1
2
C1D，平行四邊形AB1C1D中，有B1O∥C1D且B1O=
1
2
C1D，
∴EF∥B1O且EF=B1O，四邊形B1OEF為平行四邊形，B1F∥OE，又B1F?平面A1BE，OE?平面A1BE，
∴B1F∥平面A1BE，
即存在C1D1中點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

一個(gè)正三棱柱的每一條棱長(zhǎng)都是a，則經(jīng)過底面一邊和相對(duì)側(cè)棱的一個(gè)端點(diǎn)的截面（即圖中△ACD）的面積為（　�。�
A．
7
4
a2		B．
7
2
a2		C．
6
3
a2		D．
7
a2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1口，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=
2
，AA1=3，E為CD7一點(diǎn)，DE=1，EC=3
（1）證明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三角形ABC中，AC=BC=
2
2
AB，ABED是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=
1
2
CD，∠BAD=∠ADC=90°
（1）在面PCD上找一點(diǎn)M，使BM⊥面PCD；
（2）求由面PBC與面PAD所成角的二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求證：AC1∥平面CDB1．
（3）求二面角C1-AB-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)．證明
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=
2
，AB=BC=2，O是底面對(duì)角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B1D1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求證：A1O⊥平面BC1D；
（Ⅲ）求三棱錐A1-DBC1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC，底面ABC為邊長(zhǎng)為2
3
的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點(diǎn)，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（Ⅰ）求證DO∥面PBC；
（Ⅱ）求證：BD⊥AC；
（Ⅲ）求面DOB截三棱錐P-ABC所得的較大幾何體的體積．

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