Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2．
（1）求z；
（2）設(shè)z、z²、z-z²在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求∠ABC的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)z=a+bi，根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式和乘法運(yùn)算法則，得到a²+b²=2且2ab=2，聯(lián)解可得a=b=-1或a=b=1，得到z的值；
（2）當(dāng)z=1+i時(shí)，由復(fù)數(shù)的幾何意義算出A、B、C的坐標(biāo)，從而算出AB=

2

、AC=2、BC=

10

，利用余弦定理即可算出cos∠ABC=

2 5

5

；當(dāng)z=-1-i時(shí)，用類似的方法可算出cos∠ABC=

8 65

65

．

解答：解：（1）設(shè)z=a+bi（a、b∈R），z²=（a+bi）²=a²-b²+2abi…（1分）
∵|z|=

a2+b2

=

2

，∴a²+b²=2，…①
又∵z²的虛部為2，∴2ab=2…②…（2分）
①②聯(lián)解，得a=b=-1或a=b=1…（3分）
∴z=1+i或-1-i…（4分）
（2）（i）當(dāng)z=1+i時(shí)，z²=2i，z-z²=1-i…（5分）
可得A（1，1），B（0，2），C（1，-1）．
∴AB=

2

，AC=2，BC=

10

，
可得cos∠ABC=

2+10-4

2× 2 × 10

=

2

5

5

，…（9分）
（ii）當(dāng)z=-1-i，z²=2i，z-z²=-1-3i，…（10分）
可得A（-1，-1），B（0，2），C（-1，-3）．
∴AB=

10

，AC=2，BC=

26

，
可得cos∠ABC=

26+10-4

2× 26 × 10

=

8

65

65

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義為載體，求復(fù)數(shù)z的值并求cos∠ABC的值．著重考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式和余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．