Question

【題目】設對于任意實數x，不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立． （I） 求m 的取值范圍；
（Ⅱ）當m取最大值時，解關于x的不等式：|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9．

Answer 1

【答案】解：（I）∵|x+6|+|x﹣1|≥|x+6﹣x+1|=7， 又對于任意實數x，不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立，
∴m≤7，
∴m 的取值范圍是（﹣∞，7]．
（Ⅱ）當m取最大值時，m=7，
原不等式等價于：|x﹣4|﹣3x≤5，
∴ 或 ，
解得x≥4或﹣ ≤x＜4，
∴原不等式的解集為{x|x≥﹣ }
【解析】（1）由|x+6|+|x﹣1|≥|x+6﹣x+1|=7，能求出m 的取值范圍．（2）當m取最大值時，m=7，原不等式等價于：|x﹣4|﹣3x≤5，由此能求出原不等式的解集．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．