【題目】在△ABC中,已知C= ,向量 =(sinA,1), =(1,cosB),且
(1)求A的值;
(2)若點(diǎn)D在邊BC上,且3 = = ,求△ABC的面積.

【答案】
(1)解:∵ =(sinA,1), =(1,cosB),且 ,

∴sinA+cosB=0,

又C= ,A+B+C=π,

∴sinA+cos( ﹣A)=0,即sinA﹣ cosA+ sinA=sin(A﹣ )=0,

又0<A< ,∴A﹣ ∈(﹣ , ),

∴A﹣ =0,即A=


(2)解:設(shè)| |=x,由3 = ,得| |=3x,

由(1)知A=C=

∴| |=3x,B= ,

在△ABD中,由余弦定理,得13=9x2+x2+3x2,

解得:x=1,

∴AB=BC=3,

則SABC= BABCsinB= ×3×3×sin =


【解析】(1)由兩向量的坐標(biāo)及兩向量垂直,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式,根據(jù)C的度數(shù),利用內(nèi)角和定理表示出B,代入得出的關(guān)系式中計(jì)算即可求出A的度數(shù)(2)設(shè)| |=x,由3 = ,得| |=3x,由A的度數(shù)與C度數(shù)相等,可得出| |=3x,B= ,利用余弦定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出AB與BC的長,利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正弦定理的定義和余弦定理的定義,掌握正弦定理:;余弦定理:;;即可以解答此題.

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(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,a<b<c, a=2csinA,并且f( A+ )= ,求cosB的值.

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