【題目】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.

試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本�的斜率為，

所以， .

又

解得，

所以橢圓的方程為.

（2）解：設(shè)

由題意可設(shè)直線的方程為： ，

聯(lián)立消去得，

當(dāng)，所以，即或時(shí)

.

所以

點(diǎn)到直線的距離

所以，

設(shè)，則，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，

解得時(shí)取等號(hào)，

滿足

所以的面積最大時(shí)直線的方程為： 或.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程；

(2) 為橢圓上任意一點(diǎn)，若，求的最大值和最小值.

(3)求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足條件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣ ，則△ABC的周長(zhǎng)為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若ARB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以橢圓長(zhǎng)、短軸四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)為四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)、，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同單位長(zhǎng)度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．
（1）直線l過(guò)原點(diǎn)，且它的傾斜角α= ，求l與圓E的交點(diǎn)A的極坐標(biāo)（點(diǎn)A不是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）直線m過(guò)線段OA中點(diǎn)M，且直線m交圓E于B、C兩點(diǎn)，求||MB|﹣|MC||的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0. 證明：

(1)l1與l2相交；

(2)l1與l2的交點(diǎn)在曲線2x2＋y2＝1上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝loga (其中a>0，且a≠1)．

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并給出證明；

(3)若x∈時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是[0,1]，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓 +y2=1，A，B，C，D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AC，BD相交于原點(diǎn)O，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）滿足 = ．
（1）求證： + = ；
（2）kAB+kBC的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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