【題目】函數(shù)f(x)= ,若曲線f(x)在點(e,f(e))處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)求證:當x>1時,

【答案】
(1)解:∵f′(x)=

f(x)在點(e,f(e))處的切線斜率為﹣ ,

由切線與直線e2x﹣y+e=0垂直,

可得f′(e)=﹣ ,即有﹣ =﹣

解得得a=1,

∴f(x)= ,f′(x)=﹣ (x>0)

當0<x<1,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);

當x>1時,f′(x)<0,f(x)為減函數(shù).

∴x=1是函數(shù)f(x)的極大值點

又f(x)在(m,m+1)上存在極值

∴m<1<m+1 即0<m<1

故實數(shù)m的取值范圍是(0,1)


(2)解:不等式

即為

令g(x)=

則g′(x)=

再令φ(x)=x﹣lnx,則φ′(x)=1﹣ = ,

∵x>1∴φ′(x)>0,φ(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),

∴φ(x)>φ(1)=1>0,g′(x)>0,

∴g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),

∴x>1時,g(x)>g(1)=2

令h(x)= ,則h′(x)= ,

∵x>1∴1﹣ex<0,h′(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù)

∴x>1時,h(x)<h(1)= ,

所以 >h(x),即


【解析】(1)求出f(x)的導數(shù),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件可得a=1,求導數(shù),求單調(diào)區(qū)間和極值,令m<1<m+1,解不等式即可得到取值范圍;(2)不等式 即為 ,令g(x)= ,通過導數(shù),求得 ,令h(x)= ,運用導數(shù)證得h(x)<h(1)= ,原不等式即可得證.
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)的極值與導數(shù),需要了解求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案.

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