若f(x)=1-2a-2acosx+2cos2x(
π
3
≤x<
3
)的最小值為g(a).
(1)求g(a)的表達式;
(2)當g(a)=1時,求a的值,并求此時f(x)的最大值和取得最大值時的x的值集合.
分析:(1)設t=cosx,可得-1≤t≤1,函數(shù)f(x)化為關(guān)于t的二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f(x)在[-1,
1
2
]上的最小值.
(2)當g(a)=1時,由題意可得-
a2
2
-2a+1=1,且-2<a≤1,求得a的值,再根據(jù)f(x)的解析式求得此時f(x)的最大值和取得最大值時的x的值集合.
解答:解:(1)設t=cosx,f(x)=2t2-2at-2a+1=2(t-
a
2
)2-
a2
2
-2a+1
t∈[-1,
1
2
]

①當
a
2
≤-1
時,即a≤-2時,函數(shù)f(x)在[-1,
1
2
]上為增函數(shù),f(x)min=f(-1)=3.
②當-1<
a
2
≤-
1
2
時,即-2<a≤1時,f(x)min=-
a2
2
-2a+1

③當
a
2
>1時,即 a>2時,函數(shù)f(x)在[-1,
1
2
]上為減函數(shù),f(x)min=f(
1
2
)=
3
2
-3a,
綜上可得,g(a)=
3 ,a≤-2
-
a2
2
-2a+1 ,-2<a≤1
3
2
-3a ,a>1

(2)當g(a)=1時,由題意可得-
a2
2
-2a+1=1,-2<a≤1,求得a=0.
故有 f(x)=2cos2x+1=2t2+1(-1≤t≤
1
2
)?f(x)max=3
,
此時cosx=-1,解得x=π+2kπ(k∈Z),
因此取得最大值時的x的值集合為{x|x=π+2kπ(k∈Z)}.
點評:本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,余弦函數(shù)的定義域和值域,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sinωx•cosωx+cos2ωx
(其中ω>0),且函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為2π.
(Ⅰ)若f(x)=1,求cos(
3
-x)的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量m=(sin
x
4
,cos
x
4
),n=(
3
cos
x
4
cos
x
4
),記f(x)=m•n;
(1)若f(x)=1,求cos(x+
π
3
)
的值;
(2)若△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函
數(shù)f(A)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinx,cosx),  
b
=(cosx,cosx)
,函數(shù)f(x)=2
a
b
-1

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)當x∈[
π
6
,
π
2
]
時,若f(x)=1,求x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若f(x)=(2a-1)x是增函數(shù),那么a的取值范圍為( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案