Question

已知向量m=（sin

x

4

，cos

x

4

），n=（

3

cos

x

4

，cos

x

4

），記f（x）=m•n；
（1）若f（x）=1，求cos(x+

π

3

)的值；
（2）若△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函
數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的正弦公式將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根據(jù)f（x）=1求出sin（

x

2

+

π

6

），再由二倍角公式求出答案．
（2）先根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，再由誘導(dǎo)公式求出cosB得到角B的值，從而可確定角A的范圍，再求出

A

2

+

π

6

范圍，得到f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=m•n=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∵f（x）=1，∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=

1

2

．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

；
∴0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin (

A

2

+

π

6

)＜1；
又∵f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，
故函數(shù)f（A）的取值范圍是（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和正弦定理的應(yīng)用．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考，要給予充分的重視．