【題目】如圖,點A是以線段BC為直徑的圓O上一點,AD⊥BC于點D,過點B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點E,點G是AD的中點,連接CG并延長與BE相交于點F,延長AF與CB的延長線相交于點P.
(1)求證:BF=EF;
(2)求證:PA是圓O的切線.

【答案】
(1)證明:∵BC是圓O的直徑,BE是圓O的切線,∴EB⊥BC.

又∵AD⊥BC,∴AD∥BE.

可得△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC.

,得

∵G是AD的中點,即DG=AG.

∴BF=EF


(2)證明:連接AO,AB.

∵BC是圓O的直徑,∴∠BAC=90°.

由(1)得:在Rt△BAE中,F(xiàn)是斜邊BE的中點,

∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB.

又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.

∵BE是圓O的切線,

∴∠EBO=90°,得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°,

∴PA⊥OA,由圓的切線判定定理,得PA是圓O的切線.


【解析】(1)利用平行線截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC,得到對應(yīng)線段成比例,再結(jié)合已知條件可得BF=EF;(2)利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對等角,得到∠FAO=∠EBO,結(jié)合BE是圓的切線,得到PA⊥OA,從而得到PA是圓O的切線.

練習(xí)冊系列答案
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