【題目】如圖,某城市有一條公路正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東α角方向的OB,位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM=3 km,且∠AOM=β,現(xiàn)要修筑一條鐵路L,L在OA上設(shè)一站A,在OB上設(shè)一站B,鐵路在AB部分為直線段,且經(jīng)過大學(xué)M,其中tanα=2,cosβ= ,AO=15km.

(1)求大學(xué)M在站A的距離AM;
(2)求鐵路AB段的長AB.

【答案】
(1)解:在△AOM中,A0=15,∠AOM=β,且cosβ= ,OM=3 ,

由余弦定理可得:AM2=OA2+OM2﹣2OAOMcos∠AOM=(3 2+152﹣2×3 ×15× =72.

所以可得:AM=6 ,大學(xué)M在站A的距離AM為6 km


(2)解:∵cos ,且β為銳角,∴sinβ= ,

在△AOM中,由正弦定理可得: = ,即 = ,∴sin∠MAO= ,

∴∠MAO= ,∴∠ABO=α﹣ ,

∵tanα=2,∴sin ,cosα= ,

∴sin∠ABO=sin( )= ,

又∵∠AOB=π﹣α,∴sin∠AOB=sin(π﹣α)=

在△AOB中,AO=15,由正弦定理可得: = ,即 ,∴解得AB=30 ,即鐵路AB段的長AB為30 km


【解析】(1)在△AOM中,利用已知及余弦定理即可解得AM的值;(2)由cos ,且β為銳角,可求sinβ,由正弦定理可得sin∠MAO,結(jié)合tanα=2,可求sinα,cosα,sin∠ABO,sin∠AOB,結(jié)合AO=15,由正弦定理即可解得AB的值.
【考點(diǎn)精析】掌握正弦定理的定義是解答本題的根本,需要知道正弦定理:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線lx=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若APB的中點(diǎn),求直線m的斜率.

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【題目】設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xiyi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是( )

A. yx具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B. 若給變量x一個(gè)值,由回歸直線方程=0.85x-85.71得到一個(gè),則為該統(tǒng)計(jì)量中的估計(jì)值

C. 若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg

D. 若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必為58.79 kg

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為, ,數(shù)列滿足點(diǎn)在直線上.

(1)求數(shù)列, 的通項(xiàng), ;

(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和;

(3)若,求對(duì)所有的正整數(shù)都有成立的的范圍.

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【題目】已知平面向量 =(1,x), =(2x+3,﹣x)(x∈R).
(1)若 ,求| |
(2)若 夾角為銳角,求x的取值范圍.

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【題目】一袋中裝有6個(gè)黑球,4個(gè)白球.如果不放回地依次取出2個(gè)球.求:

(1)第1次取到黑球的概率;

(2)第1次和第2次都取到黑球的概率;

(3)在第1次取到黑球的條件下,第2次又取到黑球的概率.

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【題目】如圖所示,ABCD﹣A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M、N分別是下底面的棱A1B1 , B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP= ,過P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=

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【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中, 為非零常數(shù).

(1)若, ,求證: 為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列是公差不等于零的等差數(shù)列.

①求實(shí)數(shù), 的值;

②數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成數(shù)列,從中取不同的四項(xiàng)按從小到大排列組成四項(xiàng)子數(shù)列.試問:是否存在首項(xiàng)為的四項(xiàng)子數(shù)列,使得該子數(shù)列中的所有項(xiàng)之和恰好為2017?若存在,求出所有滿足條件的四項(xiàng)子數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,點(diǎn)A是以線段BC為直徑的圓O上一點(diǎn),AD⊥BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)G是AD的中點(diǎn),連接CG并延長與BE相交于點(diǎn)F,延長AF與CB的延長線相交于點(diǎn)P.
(1)求證:BF=EF;
(2)求證:PA是圓O的切線.

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