【題目】已知橢圓 的左焦點為, 為坐標(biāo)原點,點在橢圓上,過點的直線交橢圓于不同的兩點.

(1)求橢圓的方程;

(2)求弦的中點的軌跡方程;

(3)設(shè)過點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點, 軸上一點,若是菱形的兩條鄰邊,求點橫坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】123

【解析】試題分析:(1)已知橢圓 的左焦點為,,點在橢圓上,得,聯(lián)立求出即得方程2)設(shè) ,則,當(dāng)時, 點的坐標(biāo)為. 當(dāng)時,∵, ,點差法兩式相減得,

,又點,于是的斜率為,∴整理即可

(3)設(shè), 的中點,由(2)知,

,∴.∴,即,整理得②將②代入①中,得,化為,

,∴,由的范圍,從而得m的范圍.

試題解析:

1)由題意有,且,解得,

∴橢圓的方程為.

2)設(shè) ,則

當(dāng)時, 點的坐標(biāo)為.

當(dāng)時,∵ ,

兩式相減得,

,又點,于是的斜率為,

整理得.

也滿足上式,

的軌跡方程為.

3)設(shè) 的中點,由(2)知,

,

.

,即,整理得

將②代入①中,得,化為,

,

(當(dāng)時, 軸垂直,不合題意,舍去),得,

于是,即點的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

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【題目】如圖,點A是以線段BC為直徑的圓O上一點,AD⊥BC于點D,過點B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點E,點G是AD的中點,連接CG并延長與BE相交于點F,延長AF與CB的延長線相交于點P.
(1)求證:BF=EF;
(2)求證:PA是圓O的切線.

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【題目】設(shè)集合.如果對于的每一個含有個元素的子集, 中必有4個元素的和等于,稱正整數(shù)為集合的一個“相關(guān)數(shù)”.

(Ⅰ)當(dāng)時,判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”,說明理由;

(Ⅱ)若為集合的“相關(guān)數(shù)”,證明: ;

(Ⅲ)給定正整數(shù).求集合的“相關(guān)數(shù)” 的最小值.

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【題目】為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見》,某校計劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程,并對全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與,每個學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.

上圖中,已知課程為人文類課程,課程為自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向,結(jié)合上面圖表,采取分層抽樣方法從全校抽取的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡稱“組M”).

(Ⅰ)在“組M”中,選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少?

(Ⅱ)為參加某地舉辦的自然科學(xué)營活動,從“組M”所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往,其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動,費(fèi)用為每人1500元,選擇課程G的同學(xué)參加,費(fèi)用為每人2000元.

(ⅰ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)中選擇課程的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列;

(ⅱ)設(shè)隨機(jī)變量表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營的費(fèi)用總和,求隨機(jī)變量的期望.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ +b,其中a,b是常數(shù)且a>0.
(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在區(qū)間(0, ]上是單調(diào)遞減函數(shù);
(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),且在區(qū)間[1,2]上f(x)的最大值為5,最小值為3,求a的值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)= (x≠0).
(1)證明函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(2)判斷函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,并說明理由;
(3)若x∈[﹣2,﹣3],求函數(shù)的最大值和最小值.

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