已知函數(shù)(,).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處切線的方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當時,恒成立,求的取值范圍.
(Ⅰ),(Ⅱ)時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;單調(diào)減區(qū)間為,.時, 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,;單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅲ)
解析試題分析:(Ⅰ))利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在處切線的斜率為即為因為,所以當時,.,又,則曲線在處切線的方程為. (Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,需明確定義域,再導(dǎo)數(shù)值的符號確定單調(diào)區(qū)間. (1)若,當,即時,函數(shù)為增函數(shù);當,即和時,函數(shù)為減函數(shù). 若,當,即和時,函數(shù)為增函數(shù);當,即時,函數(shù)為減函數(shù).(Ⅲ)不等式恒成立問題,一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為最值問題. 當時,要使恒成立,即使在時恒成立. 設(shè),易得,從而.
(Ⅰ),.
當時,.
依題意,即在處切線的斜率為.
把代入中,得.
則曲線在處切線的方程為. .4分
(Ⅱ)函數(shù)的定義域為.
.
(1)若,
當,即時,函數(shù)為增函數(shù);
當,即和時,函數(shù)為減函數(shù).
(2)若,
當,即和時,函數(shù)為增函數(shù);
當,即時,函數(shù)為減函數(shù).
綜上所述,時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
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已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(3)若,使成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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已知函數(shù) .
(1)當在點處的切線方程是y=x+ln2時,求a的值.
(2)當的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,5)時,求a的取值集合.
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已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)直線為曲線的切線,且經(jīng)過原點,求直線的方程及切點坐標.
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一個如圖所示的不規(guī)則形鐵片,其缺口邊界是口寬4分米,深2分米(頂點至兩端點所在直線的距離)的拋物線形的一部分,現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形.
(1)若保持其缺口寬度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值;
(2)若保持其缺口深度不變,求裁剪后梯形缺口面積的最小值.
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已知函數(shù).
(1)當且,時,試用含的式子表示,并討論的單調(diào)區(qū)間;
(2)若有零點,,且對函數(shù)定義域內(nèi)一切滿足的實數(shù)有.
①求的表達式;
②當時,求函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點坐標.
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已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(3)記函數(shù)圖象為曲線,設(shè)點,是曲線上不同的兩點,點為線段的中點,過點作軸的垂線交曲線于點.試問:曲線在點處的切線是否平行于直線?并說明理由.
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設(shè)函數(shù),其中b≠0.
(1)當b>時,判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性:
(2)求函數(shù)的極值點.
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