Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C為圓O上異于A、B的一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，點(diǎn)A在PB、PC上的射影分別為點(diǎn)E、F．
（1）求證：PB⊥平面AFE；
（2）若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱錐C-PAB的體積與此三棱錐的外接球（即點(diǎn)P、A、B、C都在此球面上）的體積之比．

Answer 1

證明：（1）∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BC⊥PA，又AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC
所以BC⊥面PAC，又因AF?面PAC，
所以AF⊥BC，又因AF⊥PC，
所以AF⊥面PBC，又因PB?面PBC，
所以PB⊥AF，又因PB⊥AE，所以PB⊥面AFE．（5分）
（2）VC-PAB=VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

1

2

×AC•BC•PA=2

3

，
取PB的中點(diǎn)M，由直角三角形性質(zhì)得，PM=AM=BM=CM，故三棱錐的外接球球心為M，
其半徑為

1

2

PB=

5

2

，所以V球M=

4

3

π(

5

2

)3=

5π

6

，體積之比為

12 3

5π

．（10分）