【題目】如圖,圓F:和拋物線,過F的直線與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點,求的值是( )
A.1B.2C.3D.無法確定
【答案】A
【解析】
可分兩類討論,若直線的斜率不存在,則直線方程為x=1,代入拋物線方程和圓的方程,可直接得到ABCD四個點的坐標(biāo),從而|AB||CD|=1.若直線的斜率存在,設(shè)為直線方程為y=k(x-1),不妨設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),過A、D分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,由拋物線的定義,|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,把直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,利用韋達定理及|AB|=|AF|-|BF|=x1,|CD|=|DF|-|CF|=x2,可求|AB||CD|的值.
解:若直線的斜率不存在,則直線方程為x=1,代入拋物線方程和圓的方程,可直接得到ABCD四個點的坐標(biāo)為(1,2)(1,1)(1,-1)(1,-2),所以|AB|=1,|CD|=1,從而|AB||CD|=1.若直線的斜率存在,設(shè)為k,因為直線過拋物線的焦點(1,0),則直線方程為y=k(x-1),不妨設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),過A、D分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,由拋物線的定義,|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,把直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由韋達定理有 x1x2=1而拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心,所以|BF|=|CF|=R=1
從而有|AB|=|AF|-|BF|=x1,|CD|=|DF|-|CF|=x2.
所以|AB||CD|=x1x2=1
故選:A.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次田徑比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示。
若將運動員按成績由好到差編為1—35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5人,則其中成績在區(qū)間上的運動員人數(shù)為
A.6B.5C.4D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點,半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”,若橢圓右焦點坐標(biāo)為,且過點.
(1)求橢圓的“伴橢圓”方程;
(2)在橢圓的“伴橢圓”上取一點,過該點作橢圓的兩條切線、,證明:兩線垂直;
(3)在雙曲線上找一點作橢圓的兩條切線,分別交于切點、使得,求滿足條件的所有點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列各項均非零,且存在常數(shù),對任意,恒成立,則成這樣的數(shù)列為“類等比數(shù)列”,例如等比數(shù)列一定為類等比數(shù)列,則:
(1)各項均非零的等差數(shù)列是否可能為“類等比數(shù)列”?若可能,請舉例;若不能,說明理由;
(2)已知數(shù)列為“類等比數(shù)列”,且,是否存在常數(shù),使得恒成立?
(3)已知數(shù)列為“類等比數(shù)列”,且,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山,從山的側(cè)面進行勘測,迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成,其中所在的拋物線以為頂點、開口向下,所在的拋物線以為頂點、開口向上,以過山腳(點)的水平線為軸,過山頂(點)的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位:百米).已知所在拋物線的解析式,所在拋物線的解析式為
(1)求值,并寫出山坡線的函數(shù)解析式;
(2)在山坡上的700米高度(點)處恰好有一小塊平地,可以用來建造索道站,索道的起點選擇在山腳水平線上的點處,(米),假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時,索道的懸空高度有最大值,試求索道的最大懸空高度;
(3)為了便于旅游觀景,擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺階,臺階每級的高度為20厘米,長度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每級臺階的兩端點在坡面上(見圖).試求出前三級臺階的長度(精確到厘米),并判斷這種臺階能否一直鋪到山腳,簡述理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,.
(1)求證:平面;
(2)點在線段上運動,設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為(),試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合是實數(shù)集的子集,如果正實數(shù)滿足:對任意都存在使得則稱為集合的一個“跨度”,已知三個命題:
(1)若為集合的“跨度”,則也是集合的“跨度”;
(2)集合的“跨度”的最大值是4;
(3)是集合的“跨度”.
這三個命題中正確的個數(shù)是()
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱中,底面是直角三角形,,為側(cè)棱的中點.
(1)求異面直線、所成角的余弦值;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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