Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex．

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1-，-1+）上單調(diào)遞增；（2）[1，+∞）.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，令，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，即可求出的單調(diào)性；（2）先化簡，由，對分類討論：①當(dāng)時，構(gòu)造新函數(shù)，再對求導(dǎo)，得的單調(diào)性，即可得的取值范圍；②當(dāng)時，構(gòu)造新函數(shù)，得的單調(diào)性，再由試根法即可得出結(jié)論；③當(dāng)時，利用試根法即可得出結(jié)論；然后得出的取值范圍.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>f（x）=（1-x2）ex，x∈R，

所以f′（x）=（1-2x-x2）ex，

令f′（x）=0可知x=-1±，

當(dāng)x＜-1-或x＞-1+時f′（x）＜0，當(dāng)-1-＜x＜-1+時f′（x）＞0，

所以f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1-，-1+）上單調(diào)遞增；

（2）由題可知f（x）=（1-x）（1+x）ex．下面對a的范圍進(jìn)行討論：

①當(dāng)a≥1時，設(shè)函數(shù)h（x）=（1-x）ex，則h′（x）=-xex＜0（x＞0），

因此h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?/span>h（0）=1，所以h（x）≤1，

所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；

②當(dāng)0＜a＜1時，設(shè)函數(shù)g（x）=ex-x-1，則g′（x）=ex-1＞0（x＞0），

所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

又g（0）=1-0-1=0，

所以ex≥x+1．

因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時f（x）＞（1-x）（1+x）2，

所以（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2），

取x0=∈（0，1），則（1-x0）（1+x0）2-ax0-1=0，

所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；

③當(dāng)a≤0時，取x0=∈（0，1），則f（x0）＞（1-x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；

綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）．