【題目】己知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

①求證：是直角三角形；

②求面積的最大值.

【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②

【解析】

（1）解方程組即可；

（2）①設(shè)直線PQ的斜率為k.則其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得到坐標(biāo)，再由QG與橢圓方程聯(lián)立得到G點(diǎn)坐標(biāo)，證明斜率乘積等于即可；②利用兩點(diǎn)間的距離公式算得的長(zhǎng)度，將三角形的面積用k表示，再結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.

（1）由題意，，，，

解得，

所以橢圓的方程為：.

（2）①：設(shè)直線PQ的斜率為k.則其方程為.

由，得.

記，則，，.

于是直線QG的斜率為，方程為.

由得.①

設(shè)，則和是方程①的解，

故，由此得.

從而直線PG的斜率為.

所以，即是直角三角形.

②：由①得，，

所以的面積，

又，所以.

設(shè)，則由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

因?yàn)?/span>，而在單調(diào)遞增，

所以當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值，最大值為.

因此，面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若a＝0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)在x＝1時(shí)取極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

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（1）證明：.

（2）若，試在棱上確定一點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為.

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（2）若的最小值為,求的取值范圍.

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【題目】在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線：.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：

①曲線恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過(guò)2；

③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.

其中正確的結(jié)論有：（ ）

A.①③B.②③C.①②D.①②③

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【題目】已知角始邊與軸的非負(fù)半軸重合，與圓相交于點(diǎn)，終邊與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為， 的面積為，函數(shù)的圖象大致是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，左右頂點(diǎn)分別是，以上的弦（異于）為直徑作圓恰好過(guò)，設(shè)直線的斜率為.

（1）若，且的面積為，求的方程.

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)），且，點(diǎn)P為曲線與的公共點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為，求動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）規(guī)定了數(shù)學(xué)直觀想象學(xué)科的六大核心素養(yǎng)，為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（注：雷達(dá)圖，又可稱(chēng)為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖，可用于對(duì)研究對(duì)象的多維分析）（ ）

A.甲的直觀想象素養(yǎng)高于乙

B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

C.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)一樣

D.乙的六大素養(yǎng)整體水平低于甲

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