Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若的最小值為,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)或時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）

【解析】

(1)求導(dǎo)因式分解可得,再分析導(dǎo)函數(shù)中的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.

(2)根據(jù)(1)中所得的單調(diào)性,分與兩種情況討論,分析函數(shù)的極值點(diǎn)所在的區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析是否滿足最小值為即可.

解：（1）的定義域?yàn)?/span>,

,

令,解得或,

令,則,故在上單調(diào)遞增.

故.又當(dāng)時(shí).

故當(dāng)或時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在處取得最小值,符合題意.

當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞增,則必存在正數(shù)使得.

若,則,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

又,故不符合題意

若,則,所以,在上單調(diào)遞增,又,故不符合題意.

若,則,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

當(dāng),時(shí),與的最小值為矛盾.

綜上,的取值范圍為.