【題目】已知橢圓C：（0＜b＜2）的離心率為，F為橢圓的右焦點，PQ為過中心O的弦．

（1）求面積的最大值；

（2）動直線與橢圓交于A，B兩點，證明：在第一象限內(nèi)存在定點M，使得當直線AM與直線BM的斜率均存在時，其斜率之和是與t無關的常數(shù)，并求出所有滿足條件的定點M的坐標．

【答案】（1），（2）證明見詳解，定點的坐標為.

【解析】

（1）先由條件得出，，然后的面積等于和的面積之和，設點到軸的距離為，，然后即可分析出答案

（2）設，將代入得，則有，然后可推出，當，時斜率的和恒為0，然后解出即可.

（1）設橢圓的半焦距為，則

由得，所以

又由的面積等于和的面積之和，

設點到軸的距離為，由是過橢圓的中心的弦，則點到軸的距離也為

所以和的面積相等，所以

因為的最大值為，所以的最大面積為

（2）由（1）知橢圓

設

將代入得

則有

直線AM與直線BM的斜率之和：

為與無關的常數(shù)，可知當，時斜率的和恒為0，

解得或（舍）

綜上所述：所有滿足條件的定點的坐標為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】盒中有形狀、大小都相同的2個紅色球和3個黃色球，從中取出一個球，觀察顏色后放回并往盒中加入同色球4個，再從盒中取出一個球，則此時取出黃色球的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓上的點和長軸兩端點為頂點的三角形的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過定點的直線交橢圓于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為，試證明：直線與軸的交點為一個定點，且（為原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當?shù)氐牧曀资寝r(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農(nóng)歷十二月底進行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位:箱)在的客戶稱為“熟客”,并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表:

采購數(shù)x

客戶數(shù)

10

10

5

20

5

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖,并估計采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù);

(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調(diào)查,決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷,若不在網(wǎng)上出售魚卷,則按去年的價格出售,每箱利潤為20元,預計銷售量與去年持平;若在網(wǎng)上出售魚卷,則需把每箱售價下調(diào)2至5元,且每下調(diào)m元()銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，滿足，則（ ）

A.函數(shù)有2個極小值點和1個極大值點

B.函數(shù)有2個極大值點和1個極小值點

C.函數(shù)有可能只有一個零點

D.有且只有一個實數(shù)，使得函數(shù)有兩個零點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列對任意連續(xù)三項，均有，則稱該數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.

（1）判斷下列兩個數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：

①等差數(shù)列：；

②等比數(shù)列：；

（2）若數(shù)列滿足對任何正整數(shù)，均有.證明：數(shù)列是跳躍數(shù)列的充分必要條件是.

（3）跳躍數(shù)列滿足對任意正整數(shù)均有，求首項的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)當時，求證：；

(2)討論函數(shù)在R上的零點個數(shù)，并求出相對應的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，，.

（1）求證：平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（3）求點E到平面ACD的距離。

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