【題目】如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,,.
(1)求證:平面BCD;
(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
(3)求點E到平面ACD的距離。
【答案】(1)見解析(2)(3)
【解析】
(1)連接OC,由BO=DO,AB=AD,知AO⊥BD,由BO=DO,BC=CD,知CO⊥BD.在△AOC中,由題設(shè)知,AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能夠證明AO⊥平面BCD;
(2)取AC的中點M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點,知ME∥AB,OE∥DC,故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.在△OME中,,由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦;
(3)設(shè)點E到平面ACD的距離為h.在△ACD中,,故,由AO=1,知,由此能求出點E到平面ACD的距離.
(1)證明:連接OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD,
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由題設(shè)知,AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∵AO⊥BD,BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD.
(2)解:取AC的中點M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點,
知ME∥AB,OE∥DC,
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.
在△OME中,,
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線,∴,
∴,
∴異面直線AB與CD所成角大小的余弦為
(3)解:設(shè)點E到平面ACD的距離為h.
,
,
在△ACD中,,
∴,
∵AO=1,,
∴,
∴點E到平面ACD的距離為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),對于任意的 ,都有, 當時,,且.
( I ) 求的值;
(II) 當時,求函數(shù)的最大值和最小值;
(III) 設(shè)函數(shù),判斷函數(shù)g(x)最多有幾個零點,并求出此時實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓的極坐標方程為.
(1)求直線和圓的普通方程;
(2)已知直線上一點,若直線與圓交于不同兩點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
晝夜溫差 x (℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就診人數(shù) y(個) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該興趣小組確定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用1月和6月的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)請根據(jù)2、3、4、5月的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?
(參考公式: , )
參考數(shù)據(jù):11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足,且為偶函數(shù),若在內(nèi)單調(diào)遞減,則下面結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).
(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,
求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在區(qū)間上有最大值,有最小值,設(shè).
(1)求的值;
(2)不等式在時恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若方程有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,平面ABC外有一點,點P到角的兩邊AC,BC的距離都等于,則PC與平面ABC所成角的正切值為__________.
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