Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)當(dāng)時(shí)，求證：；

(2)討論函數(shù)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出相對(duì)應(yīng)的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最小值，證明最小值大于.（2）先利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值，然后分類討論，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得到每種情況下的零點(diǎn)情況.

（1）當(dāng)時(shí)，，

令，則.

令，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

即

故當(dāng)時(shí)，成立.

（2） ，由，得.

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，

即.

當(dāng)，即時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；

由（1）得，令，得，

所以，于是在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

因此，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，時(shí)，函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).