【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x﹣y+ =0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長為
(1)求圓O的方程;
(2)若直線l與圓O切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D、E,當(dāng)DE長最小時,求直線l的方程;
(3)設(shè)M、P是圓O上任意兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N,若直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】
(1)解:因?yàn)辄c(diǎn)O到直線3x﹣y+ =0的距離為
d= = ,
所以圓O的半徑為r= =2;
故圓O的方程為x2+y2=4
(2)解:設(shè)直線l的方程為 =1(a>0,b>0),
即bx+ay﹣ab=0;
由已知 =2,
即 = ;
所以DE2=a2+b2
=4(a2+b2)( )
=4(2+ + )≥16;
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2 時取等號,
此時直線l的方程為x+y﹣2 =0
(3)解:設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),P(x2,y2),
則N(x1,﹣y1),且 + =4 + =4,
直線MP與x軸交點(diǎn)為( ,0),
則m= ;
直線NP與x軸交點(diǎn)為( ,0),
則n= .
所以mn=
=
= =4,
故mn為定值4
【解析】(1)由點(diǎn)O到直線3x﹣y+ =0的距離d,求出圓O的半徑r,寫出圓O的方程;(2)寫出直線l的方程,由d=r以及基本不等式求出DE2取最小值時對應(yīng)的方程;(3)設(shè)出點(diǎn)M、P,根據(jù)對稱性寫出點(diǎn)N,利用圓的方程表示出直線MP、NP與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),得出m、n的值,計(jì)算mn即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱線長為1,線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E,F(xiàn),且EF= ,則下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A﹣BEF的體積為定值
D.異面直線AE,BF所成的角為定值
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=2an﹣1+2n(n≥2,且n∈N*)
(1)求證:數(shù)列{ }是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn , 求證: .
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【題目】已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1},B={x|x∈A∩N},C={x|a≤x≤a+1}. (Ⅰ)寫出集合B的所有子集;
(Ⅱ)若A∩C=C,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知直線l過點(diǎn)P(﹣2,1).
(1)當(dāng)直線l與點(diǎn)B(﹣5,4)、C(3,2)的距離相等時,求直線l的方程;
(2)當(dāng)直線l與x軸、y軸圍成的三角形的面積為 時,求直線l的方程.
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【題目】給出如下四個命題: ①若“p∨q”為真命題,則p,q均為真命題;
②“若a>b,則2a>2b﹣1”的否命題為“若a≤b,則2a≤2b﹣1”;
③“x∈R,x2+x≥1”的否定是“x0∈R,x +x0≤1”;
④“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.
其中不正確的命題是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
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【題目】在奧運(yùn)會射箭決賽中,參賽號碼為1~4號的4名射箭運(yùn)動員參加射箭比賽.
(1)通過抽簽將他們安排到1~4號靶位,試求恰有2名運(yùn)動員所抽靶位號與其參賽號碼相同的概率;
(2)記1號、2號射箭運(yùn)動員射箭的環(huán)數(shù)為ξ(ξ所有取值為0,1,2,3,…,10)分別為P1 , P2 . 根據(jù)教練員提供的資料,其概率分布如下表:
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
P1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.06 | 0.04 | 0.06 | 0.3 | 0.2 | 0.3 | 0.04 |
P2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.04 | 0.05 | 0.05 | 0.2 | 0.32 | 0.32 | 0.02 |
①若1,2號運(yùn)動員各射箭一次,求兩人中至少有一人命中9環(huán)的概率;
②判斷1號、2號射箭運(yùn)動員誰射箭的水平高?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E、F分別是棱AA′,CC′的中點(diǎn),過直線E,F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N,設(shè)BM=x,x∈(0,1),給出以下四個命題:
①四邊形MENF為平行四邊形;
②若四邊形MENF面積s=f(x),x∈(0,1),則f(x)有最小值;
③若四棱錐A﹣MENF的體積V=p(x),x∈(0,1),則p(x)為常函數(shù);
④若多面體ABCD﹣MENF的體積V=h(x),x∈( ,1),則h(x)為單調(diào)函數(shù);
其中假命題為 ( )
A.①
B.②
C.③
D.④
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【題目】已知函數(shù)f(x)=a(x+a)(x﹣a+3),g(x)=2x+2﹣1,若對任意x∈R,f(x)>0和g(x)>0至少有一個成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(﹣2,﹣1)∪(1,+∞)
D.(0,2)
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