Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx．
（Ⅰ）若直線y=x+b與f（x）在x=1處相切，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：分類(lèi)討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)（1，0），結(jié)合切線方程和函數(shù)導(dǎo)數(shù)，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）由題意可得x＞0，f′（x）=

x-a

x

+lnx=

x+xlnx-a

x

＞0，即有a＜x+xlnx，設(shè)g（x）=x+xlnx，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，可得極小值，也為最小值，討論a與最小值的關(guān)系，即可得到所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x-a）lnx的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=

x-a

x

+lnx（x＞0），
由f（1）=0，則切點(diǎn)為（1，0），
代入切線方程，可得b=-1，
由切線斜率為1，則有1=1-a，解得a=0；
（Ⅱ）由題意可得x＞0，f′（x）=

x-a

x

+lnx=

x+xlnx-a

x

＞0，
即有a＜x+xlnx，
設(shè)g（x）=x+xlnx，則g′（x）=2+lnx，
當(dāng)0＜x＜e^-2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)x＞e^-2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
x=e^-2處g（x）取得極小值-e^-2．
當(dāng)a＜-e^-2時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)a=-e^-2時(shí)，f′（e²）=0，x∈（0，e^-2）∪（e^-2，+∞），f′（x）＞0，
故若f（x）在定義域上單調(diào)遞增時(shí)，a≤-e^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，運(yùn)用參數(shù)分離和不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．