【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為正方形,PD=DC=2,E,F,G分別是AB,PB,CD的中點.

(1)求證:EF⊥DC;

(2)求證:GF∥平面PAD;

(3)求點G到平面PAB的距離.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

(1)根據(jù)直線的垂直關(guān)系,得到線面垂直;再根據(jù)中位線得到線線平行,進(jìn)而得到線線垂直。

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),利用直線與法向量的垂直關(guān)系,判斷直線與平面的平行關(guān)系。

(3)利用向量的坐標(biāo),判斷出直線GF⊥平面PAB,進(jìn)而求得點到平面的距離。

(1)證明∵PDDC,DCAD,AD∩PD=D,

DC⊥平面PAD.

AP平面ABCD,DCAP.

E,F分別是PBAB的中點,EF是三角形PAB的中位線,EFAP,EFCD.

(2)證明如圖,D為原點,DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(0,1,0).

=(0,2,0)為平面PAD的一個法向量,=(1,0,1),

=1×0+0×2+1×0=0.

.

GF平面PAD,GF∥平面PAD.

(3)解∵=(1,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-2),

=0,=0,GFAB,GFPA.

AB∩PA=A,GF⊥平面PAB,垂足為F.

||=,

∴點G到平面PAB的距離為.

練習(xí)冊系列答案
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評估得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100)

評定等級

D

C

B

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