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【題目】如圖，在四面體中，分別為的中點，過任作一個平面分別與直線相交于點，則下列結論正確的是___________．①對于任意的平面，都有直線，，相交于同一點；②存在一個平面，使得點在線段上，點在線段的延長線上； ③對于任意的平面，都有；④對于任意的平面，當在線段上時，幾何體的體積是一個定值.

【答案】③④

【解析】

當分別為中點時，可知三線互相平行，排除①；若三線相交，交點必在上，可排除②；取中點，利用線面平行判定定理可證得平面，平面，再結合為中點可得到平面的距離相等，進一步得到到直線的距離相等，從而證得面積相等，③正確；首先通過臨界狀態(tài)與重合，與重合時，求得所求體積為四面體體積一半；當不位于臨界狀態(tài)時，根據③的結論可證得，從而可知所求體積為四面體體積一半，進而可知為定值，④正確.

當分別為中點時，，則①錯誤

若三線相交，則交點

不存在在線段上，在線段延長線上的情況，則②錯誤

取中點，如圖所示：

分別為中點

又平面，平面 平面

同理可得：平面

到平面的距離相等；到平面的距離相等

又為中點 到平面的距離相等

到平面的距離相等

連接交于，則為中點 到距離相等

，則③正確

當與重合，與重合時，此時幾何體體積為三棱錐的體積

為中點 三棱錐的體積為四面體體積的一半

當如圖所示時，由③可知

又為中點 到截面的距離相等

綜上所述，幾何體的體積為四面體體積的一半，為定值，則④正確

本題正確結果：③④

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