【題目】如圖,在四棱錐中,底面為邊長為2的菱形,,,面面,點為棱的中點.
(1)在棱上是否存在一點,使得面,并說明理由;
(2)當二面角的余弦值為時,求直線與平面所成的角.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)取的中點,連結、,可證,四邊形為平行四邊形.
則,又平面,平面,所以,平面.故在棱上存在點,使得面,點為棱的中點.
(2)可證面,故以為坐標原點建立如圖空間坐標系,求出相應點及相應向量的坐標可求直線與平面所成的角.
(1)在棱上存在點,使得面,點為棱的中點.
理由如下:
取的中點,連結、,
由題意,且,且,
故且.
所以,四邊形為平行四邊形.
所以,,又平面,平面,
所以,平面.
(2)由題意知為正三角形,所以,亦即,
又,
所以,且面面,面面,
所以面,故以為坐標原點建立如圖空間坐標系,
設,則由題意知,,,,
,,
設平面的法向量為,
則由得,
令,則,,
所以取,
顯然可取平面的法向量,
由題意: ,所以.
由于面,所以在平面內的射影為,
所以為直線與平面所成的角,
易知在中,從而,
所以直線與平面所成的角為.
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【題目】已知橢圓:過點和點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于不同的兩點, ,是否存在實數,使得?若存在,求出實數;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在四面體中,分別為的中點,過任作一個平面分別與直線相交于點,則下列結論正確的是___________.①對于任意的平面,都有直線,,相交于同一點;②存在一個平面,使得點在線段上,點在線段的延長線上; ③對于任意的平面,都有;④對于任意的平面,當在線段上時,幾何體的體積是一個定值.
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【題目】(本大題滿分12分)
隨著互聯網的快速發(fā)展,基于互聯網的共享單車應運而生,某市場研究人員為了了解共享單車運營公司的經營狀況,對該公司最近六個月的市場占有率進行了統(tǒng)計,并繪制了相應的折線圖:
(Ⅰ)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月度市場占有率與月份代碼之間的關系,求關于的線性回歸方程,并預測公司2017年4月的市場占有率;
(Ⅱ)為進一步擴大市場,公司擬再采購一批單車,現有采購成本分別為元/輛和1200元/輛的、兩款車型可供選擇,按規(guī)定每輛單車最多使用4年,但由于多種原因(如騎行頻率等)會導致單車使用壽命各不相同,考慮到公司運營的經濟效益,該公司決定先對這兩款車型的單車各100輛進行科學模擬測試,得到兩款單車使用壽命的頻數表如下:
經測算,平均每輛單車每年可以帶來收入500元,不考慮除采購成本之外的其他成本,假設每輛單車的使用壽命都是整數年,且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率,如果你是公司的負責人,以每輛單車產生利潤的期望值為決策依據,你會選擇采購哪款車型?
參考公式:回歸直線方程為,其中,.
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【題目】如圖,已知橢圓的離心率為,以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為,一雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,且它的實軸長等于虛軸長,設為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線和與橢圓的交點分別為和,其中在軸的同一側.
(1)求橢圓和雙曲線的標準方程;
(2)是否存在題設中的點,使得?若存在, 求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】我們正處于一個大數據飛速發(fā)展的時代,對于大數據人才的需求也越來越大,其崗位大致可分為四類:數據開發(fā)、數據分析、數據挖掘、數據產品.以北京為例,2018年這幾類工作崗位的薪資(單位:萬元/月)情況如下表所示.
由表中數據可得各類崗位的薪資水平高低情況為
A. 數據挖掘>數據開發(fā)>數據產品>數據分析B. 數據挖掘>數據產品>數據開發(fā)>數據分析
C. 數據挖掘>數據開發(fā)>數據分析>數據產品D. 數據挖掘>數據產品>數據分析>數據開發(fā)
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