【題目】已知，是動點，以為直徑的圓與圓：內(nèi)切.

（1）求的軌跡的方程；

（2）設(shè)是圓與軸的交點，過點的直線與交于兩點，直線交直線于點，求證：三點共線.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)出，根據(jù)相切得出關(guān)于的方程，由方程對應(yīng)的幾何意義得出的軌跡的方程；

（2）設(shè)出，，解出點坐標(biāo)，從而得出的坐標(biāo)，設(shè)過點的直線并與橢圓聯(lián)立方程組，借助韋達定理進行化簡、證明.

解：（1）設(shè)，

則的中點的坐標(biāo)為，

因為圓與圓內(nèi)切，點在圓內(nèi)，

所以，

即，

整理得，

設(shè)，則，

即的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.

由，，

得，

所以的方程為.

（2）設(shè)，.

因為是圓與軸的交點，不妨設(shè)，，

則.

因為直線的方程為，

所以，則.

依題意，

因為直線過，斜率不為0，

故可設(shè)其方程為，

由

消去并整理得，

則，，

因為

，

所以，

故三點共線.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，正方形所在平面，M是的中點，二面角的大小為.

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（2）在棱是否存在一點N，使為的二面角.若不存在，說明理由：若存在，求長.

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（2）若p∨q為真，p∧q為假，求m的取值范圍．

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（Ⅰ）求證：D1E⊥A1D；

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【題目】對于無窮數(shù)列，若正整數(shù)，使得當(dāng)時，有，則稱為“不減數(shù)列”.

(1)設(shè)，均為正整數(shù)，且，甲:為“不減數(shù)列”，乙:為“不減數(shù)列”.試判斷命題:“甲是乙的充分條件”的真假，并說明理由;

(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，數(shù)列滿足，，如果為“不減數(shù)列”，試求的最小值;

(3)對于（2）中的，設(shè)，且.是否存在實數(shù)使得為“不減數(shù)列”?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由.

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【題目】下圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形、半徑為的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂點與的中點重合，斜邊在直線上.已知為的中點，現(xiàn)將該圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】血藥濃度（Serum Drug Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度（單位：mg/ml），通常用血藥濃度來研究藥物的作用強度．下圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況，其中點的橫坐標(biāo)表示服用第種藥后血藥濃度達到峰值時所用的時間，其它點的橫坐標(biāo)分別表示服用三種新藥后血藥濃度第二次達到峰值一半時所用的時間(單位：h)，點的縱坐標(biāo)表示第種藥的血藥濃度的峰值．（）

①記為服用第種藥后達到血藥濃度峰值時，血藥濃度提高的平均速度，則中最大的是_______；

②記為服用第種藥后血藥濃度從峰值降到峰值的一半所用的時間，則中最大的是_______

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【題目】“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本。”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當(dāng)時，建立了與的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時，確定與滿足的線性回歸方程為：.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，.）

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效大幅提高，服從正態(tài)分布，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過，不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超過但不超過，每臺發(fā)動機獎勵2萬元；若發(fā)動機的熱效率超過，每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.

（附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.）

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