Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣HKLE中，底面ABCD是邊長為3的正方形，對角線AC與BD相交于點O，點F在線段AH上，且，BE與底面ABCD所成角為．

（1）求證：AC⊥BE；

（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（3）設(shè)點M在線段BD上，且AM//平面BEF，求DM的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由題意可得DE⊥AC，AC⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定可得AC⊥平面BDE，由線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）由DA，DC，DE兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，求出平面BEF的一個法向量、平面BDE的一個法向量，由即可得解；

（3）設(shè)M(t,t,0)，則 (t﹣3,t,0)，由AM//平面BEF可得，求得t后即可得解．

（1）證明：因為在長方體ABCD﹣HKLE中， DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC，

因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDE，

而BE平面BDE，所以AC⊥BE；

（2）因為在長方體ABCD﹣HKLE中，DA，DC，DE兩兩垂直，

所以建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz如圖所示：

由DE⊥平面ABCD可知∠DBE為直線BE與平面ABCD所成的角，

又因為BE與平面ABCD所成角為，所以，

所以，由AD＝3，可知，DE＝，

所以AH＝3，

又20，即AF，故AF，

則A(3,0,0)，F(3,0,)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，

所以(0,﹣3,)，(3,0,﹣2)，

設(shè)平面BEF的一個法向量為(x,y,z)，

則，即，令，則(4,2,)，

因為AC⊥平面BDE，所以為平面BDE的一個法向量，(3,﹣3,0)，

所以,

因為二面角為銳角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值為；

（3）因為點M是線段BD上一個動點，設(shè)M(t,t,0)，則(t﹣3,t,0)，

因為AM//平面BEF，所以，

即4(t﹣3)+2t＝0，解得t＝2．

此時，點M坐標(biāo)為(2,2,0)，，符合題意．