Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）令，的最大值為A，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）令，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，對任意，求在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值.

Answer 1

【答案】（1）非奇非偶函數(shù)，理由見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）特值法：ω＝1時(shí)，寫出f（x）、F（x），求出F（）、F（），結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可作出正確判斷；

（2）當(dāng)時(shí)，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式展開及輔助角公式求得h（x），進(jìn)而求得h（x）的最大值A，由題意可知：對稱軸，解得，即可求得θ的取值范圍．

（3）根據(jù)圖象平移變換求出g（x），令g（x）＝0可得g（x）可能的零點(diǎn)，而[a，a+10π]恰含10個(gè)周期，分a是零點(diǎn)，a不是零點(diǎn)兩種情況討論，結(jié)合圖象可得g（x）在[a，a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值；

（1）當(dāng)時(shí)，f（x）＝2sinx，

∴F（x）＝f（x）+f（x）＝2sinx+2sin（x）＝2（sinx+cosx），

F（）＝2，F（）＝0，F（）≠F（），F（）≠﹣F（），

所以，F（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，

∵∴

由題意，在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴拋物線對稱軸，即

∴

（3）f（x）＝2sin2x，

將y＝f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到y＝2sin2（x）+1的圖象，所以g（x）＝2sin2（x）+1．

令g（x）＝0，得x＝kπ或x＝kπ（k∈z），

因?yàn)?/span>[a，a+10π]恰含10個(gè)周期，所以，當(dāng)a是零點(diǎn)時(shí)，在[a，a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)21，

當(dāng)a不是零點(diǎn)時(shí)，a+kπ（k∈z）也都不是零點(diǎn)，區(qū)間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故在[a，a+10π]上有20個(gè)零點(diǎn)．

綜上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值為21或20．