【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2﹣ . (Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1 , x2 , 證明x1+x2>2.
【答案】解:(Ⅰ) , f'(x)=0x=1,當x∈(﹣∞,1)時,f'(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0.
所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)上單調遞增
(Ⅱ)證明: ,f(0)=1,不妨設x1<x2 ,
又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,
又函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)上單調遞減,
所以x1+x2>2x1>2﹣x2等價于f(x1)<f(2﹣x2),
即0=f(x1)<f(2﹣x2).
又 ,而 ,
所以 ,
設g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex , 則g'(x)=(1﹣x)(e2﹣x﹣ex).
當x∈(1,+∞)時g'(x)>0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)>0.
而 恒成立,
所以當x>1時, ,
故x1+x2>2.
【解析】(Ⅰ)求出導函數(shù),求出極值點,判斷導函數(shù)的符號,推出函數(shù)的單調性即可.(Ⅱ)不妨設x1<x2 , 推出0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,利用函數(shù)f(x)在(﹣∞,1)上單調遞減,得到x1>2﹣x2 , 轉化為:0=f(x1)<f(2﹣x2).求出 ,構造函數(shù)設g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex , 再利用形式的導數(shù),求出函數(shù)的最值,轉化求解即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從某高中隨機選取5名高一男生,其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示:
身高x(cm) | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 |
體重y(kg) | 63 | 66 | 70 | 72 | 74 |
根據(jù)如表可得回歸方程 =0.56x+ ,據(jù)此模型可預報身高為172cm的高一男生的體重為( )
A.70.12kg
B.70.29kg
C.70.55kg
D.71.05kg
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知 =(sinx,cosx), =(sinx,k), =(﹣2cosx,sinx﹣k).
(1)當x∈[0, ]時,求| + |的取值范圍;
(2)若g(x)=( + ) ,求當k為何值時,g(x)的最小值為﹣ .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為CC1和BB1的中點,則異面直線AE與D1F所成角的余弦值為( )
A.0
B.
C.
D.
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出.某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準x(噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費,超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. (Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)若該市有110萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),請說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使80%的居民每月的用水量不超過標準x(噸),估計x的值(精確到0.01),并說明理由.
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【題目】已知圓P過A(﹣8,0),B(2,0),C(0,4)三點,圓Q:x2+y2﹣2ay+a2﹣4=0.
(1)求圓P的方程;
(2)如果圓P和圓Q相外切,求實數(shù)a的值.
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【題目】已知向量 =(sinx,﹣2cosx), =(sinx+ cosx,﹣cosx),x∈R.函數(shù)f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線y=x2﹣6x+1與坐標軸的交點都在圓C上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x﹣y+a=0交與A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在公差大于0的等差數(shù)列{an}中,2a7﹣a13=1,且a1 , a3﹣1,a6+5成等比數(shù)列,則數(shù)列{(﹣1)n﹣1an}的前21項和為( )
A.21
B.﹣21
C.441
D.﹣441
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