【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2﹣6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x﹣y+a=0交與A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.
【答案】解:(Ⅰ)法一:曲線y=x2﹣6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+2 ,0),(3﹣2 ,0).可知圓心在直線x=3上,故可設(shè)該圓的圓心C為(3,t),則有32+(t﹣1)2=(2 )2+t2 , 解得t=1,故圓C的半徑為 ,所以圓C的方程為(x﹣3)2+(y﹣1)2=9. 法二:圓x2+y2+Dx+Ey+F=0
x=0,y=1有1+E+F=0
y=0,x2 ﹣6x+1=0與x2+Dx+F=0是同一方程,故有D=﹣6,F(xiàn)=1,E=﹣2,
即圓方程為x2+y2﹣6x﹣2y+1=0
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐標(biāo)滿足方程組
,消去y,得到方程2x2+(2a﹣8)x+a2﹣2a+1=0,由已知可得判別式△=56﹣16a﹣4a2>0.
在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=4﹣a,x1x2= ①,
由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以可得2x1x2+a(x1+x2)+a2=0②
由①②可得a=﹣1,滿足△=56﹣16a﹣4a2>0.故a=﹣1
【解析】(Ⅰ)法一:寫出曲線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標(biāo),構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程,通過解方程確定出圓心坐標(biāo),進(jìn)而算出半徑,寫出圓的方程; 法二:可設(shè)出圓的一般式方程,利用曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系,根據(jù)同一性直接求出參數(shù),(Ⅱ)利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x﹣y+a=0的交點A,B坐標(biāo),通過OA⊥OB建立坐標(biāo)之間的關(guān)系,結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于a的方程,通過解方程確定出a的值.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:;圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,a為常數(shù),且a∈(0,1).
(1)若x0滿足f(x0)=x0 , 則稱x0為f(x)的一階周期點,證明函數(shù)f(x)有且只有兩個一階周期點;
(2)若x0滿足f(f(x0))=x0 , 且f(x0)≠x0 , 則稱x0為f(x)的二階周期點,當(dāng)a= 時,求函數(shù)f(x)的二階周期點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2﹣ . (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1 , x2 , 證明x1+x2>2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}前n項和為Sn .
(1)若Sn=2n﹣1,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a1= ,Sn=anan+1 , an≠0,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)無窮數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等差數(shù)列,是否存在無窮等比數(shù)列{bn},使得an+1=anbn恒成立?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)列{bn}的通項公式;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c= ,△ABC的面積為 ,求△ABC的周長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項為正的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , S4=30,過點P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量為(﹣1,﹣1)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 證明:對于任意n∈N* , 都有Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=sin 的圖象,只需把函數(shù)y=sin3x的圖象上所有的點( )
A.向左平移 個單位長度
B.向左平移 個單位長度
C.向右平移 個單位長度
D.向右平移 個單位長度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且 =﹣ .
(Ⅰ)求角B的大;
(Ⅱ)若b= ,a+c=4,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
(2)計算甲班的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.
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