【題目】已知 =(sinx,cosx), =(sinx,k), =(﹣2cosx,sinx﹣k).
(1)當(dāng)x∈[0, ]時(shí),求| + |的取值范圍;
(2)若g(x)=( + ,求當(dāng)k為何值時(shí),g(x)的最小值為﹣

【答案】
(1)解: =(sinx﹣2cosx,sinx),

| |2=(sinx﹣2cosx,sinx)2

=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x

=2cos2x﹣4sinxcosx+2

=cos2x﹣2sin2x+3

= cos(2x+φ)+3,其中,tanφ=2,

又∵x∈[0, ],

,

上單調(diào)遞減,

∴| cos(2x+φ)|2∈[1,4],

∴| + |∈[1,2].


(2)解: =(2sinx,cosx+k),

g(x)=(

=﹣4sinxcosx+(cosx+k)(sinx﹣k)

=﹣3sinxcosx+k(sinx﹣cosx)﹣k2

令t=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),

則t∈[﹣ , ],且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx,

所以

所以g(x)可化為 ,

對(duì)稱軸

①當(dāng) ,即 時(shí), ,

,得 ,

所以

因?yàn)? ,

所以此時(shí)無(wú)解.

②當(dāng) ,即 時(shí),

由﹣ =﹣ ,得k=0∈[﹣3 ,3 ].

③當(dāng)﹣ ,即k<﹣3 時(shí),

g(x)min=h( )=﹣k2+ k+ ,

由﹣k2+ k+ =﹣ ,得k2 k﹣3=0,

所以k=

因?yàn)閗 ,所以此時(shí)無(wú)解.

綜上所述,當(dāng)k=0時(shí),g(x)的最小值為﹣


【解析】(1)由已知利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得 =(sinx﹣2cosx,sinx),利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得| |2= cos(2x+φ)+3,其中,tanφ=2,又x∈[0, ],可求 ,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解| + |的取值范圍;(2)利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得g(x)=﹣3sinxcosx+k(sinx﹣cosx)﹣k2,令t=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),則g(x)可化為 ,對(duì)稱軸 .利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論即可得解.
【考點(diǎn)精析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè),;;設(shè),則

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