(1)假設(shè)函數(shù)
屬于集合
, 則存在非零常數(shù)
, 對(duì)任意
, 有
成立,即:
成立.在不成立的情況下,易用反例說明.因而 令
, 則
, 與題矛盾. 故
.
(2)解決本題的關(guān)鍵是
,根據(jù)1<x+4<2,從而根據(jù)
時(shí),
求出f(x)的表達(dá)式.
(3)解本題應(yīng)討論當(dāng)k=0和k≠0兩種情況.
然后解決本題的突破口是對(duì)任意
x∈R,有
f(
x+T)="T"
f(
x)成立,即sin(
kx+
kT)=Tsin
kx 因?yàn)閗≠0,且
x∈R,所以
kx∈R,
kx+
kT∈R,
于是sin
kx∈[-1,1],sin(
kx+
kT) ∈[-1,1],
故要使sin(
kx+
kT)=Tsin
kx .成立,只有T=
,下面再對(duì)T=1和T=-1兩種情況進(jìn)行討論.
解:(1) 假設(shè)函數(shù)
屬于集合
, 則存在非零常數(shù)
, 對(duì)任意
, 有
成立,
即:
成立. 令
, 則
, 與題矛盾. 故
. …………5分
注:只要能判斷
即可得1分.
(2)
, 且
, 則對(duì)任意
, 有
,
設(shè)
, 則
,
…………8分
當(dāng)
時(shí),
,
故當(dāng)
時(shí),
. …………10分
3)當(dāng)k=0時(shí),
f(
x)=0,顯然
f(
x)=0∈M. …………11分
當(dāng)k≠0時(shí),因?yàn)?i>f(
x)=sin
kx∈M,所以存在非零常數(shù)T,對(duì)任意
x∈R,有
f(
x+T)="T"
f(
x)成立,即sin(
kx+
kT)=Tsin
kx .
因?yàn)閗≠0,且
x∈R,所以
kx∈R,
kx+
kT∈R,
于是sin
kx∈[-1,1],sin(
kx+
kT) ∈[-1,1],
故要使sin(
kx+
kT)=Tsin
kx .成立,只有T=
, …………12分
①當(dāng)T=1時(shí),sin(
kx+
k)=sin
kx成立,則
k=2
mπ, m∈Z .
②當(dāng)T=-1時(shí),sin(
kx-
k)=-sin
kx成立,
即sin(
kx-
k+
π)= sin
kx成立,
則-
k+
π=2
mπ, m∈Z ,即
k=-(2
m-1)
π,
m∈Z . …………13分
綜合得,實(shí)數(shù)
k的取值范圍是{
k|
k=
nπ,
n∈Z} …………14分