Question

某單位要建造如圖所示的倉庫，倉庫下方是半徑為r（m），高為l（m）的圓柱，上方是半球形．按照設(shè)計，倉庫的體積為定值V（m³）．假設(shè)該倉庫的建造費用僅與表面積有關(guān)，圓柱側(cè)面部分每平方米的造價為c元，半球面部分每平方米的造價為2c元，倉庫總的建造費用為y元．
（1）寫出y與r的函數(shù)關(guān)系；
（2）怎樣設(shè)計倉庫，才能使總的建造費用最小？

Answer 1

解：（1）半球面部分面積為2πr²，
由題意得為，∴l(xiāng)=．
圓柱側(cè)面部分面積為，
所以建造費用y= （r＞0）．
（2）．
令y^′=0得，∴r=．
所以，當倉庫的半徑時，總的建造費用最少．
分析：（1）把半球面的面積用半徑r表示出來，由半球的體積與圓柱的體積和等于V得到圓柱的高與底面半徑的關(guān)系，從而用r表示l，最后把倉庫的表面積用含有r的代數(shù)式表示，得到建造費用關(guān)于r的函數(shù)；
（2）利用導函數(shù)求極值，也就是最值，同時注意要有實際意義．
點評：本題是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型題，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，解決實際問題時要注意函數(shù)的定義域要有實際意義，此題是中檔題．