Question

某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE（如圖所示）上劃出一塊長方形地面建造一幢公寓，問：如何設(shè)計才能使公寓占地面積最大？求出最大面積（尺寸單位：m）．

Answer 1

分析：設(shè)計長方形公寓分三種情況：當(dāng)一端點在BC上時，只有在B點時長方形BCDB₁面積最大；當(dāng)一端點在EA邊上時，只有在A點時長方形AA₁DE的面積最大；當(dāng)一端點在AB邊上時，設(shè)該點為M，則可構(gòu)造長方形MNDP，并補出長方形OCDE．由此能求出結(jié)果．

解答：解：如圖所示，設(shè)計長方形公寓分三種情況：
①當(dāng)一端點在BC上時，只有在B點時長方形BCDB₁面積最大，
∴S₁=SBCDB₁=5600m²．
②當(dāng)一端點在EA邊上時，只有在A點時長方形AA₁DE的面積最大，
∴S₂=SAA₁DE=6 000m²．
③當(dāng)一端點在AB邊上時，設(shè)該點為M，則可構(gòu)造長方形MNDP，并補出長方形OCDE．
設(shè)MQ=x（0≤x≤20），∴MP=PQ-MQ=80-x．
又OA=20，OB=30，則

OA

OB

=

MQ

QB

，
∴

2

3

=

x

QB

，∴QB=

3

2

x，
∴MN=QC=QB+BC=

3

2

x+70，
∴S₃=S_MNDP=MN•MP=（70+

3

2

x）•（80-x）
=-

3

2

（x-

50

3

）²+

18050

3

，
當(dāng)x=

50

3

時，S₃=

18050

3

．比較S₁，S₂，S₃，得S₃最大，
此時MQ=

50

3

m，BM=

25 13

3

m，
故當(dāng)長方形一端點落在AB邊上離B點

25 13

3

m處時公寓占地面積最大，最大面積為

18050

3

m²．

點評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的具體運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．