【題目】已知曲線的方程為

(1)當(dāng)時,試確定曲線的形狀及其焦點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若直線交曲線于點(diǎn)、,線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,試問此時曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱?

(3)當(dāng)為大于1的常數(shù)時,設(shè)是曲線上的一點(diǎn),過點(diǎn)作一條斜率為的直線,又設(shè)為原點(diǎn)到直線的距離,分別為點(diǎn)與曲線兩焦點(diǎn)的距離,求證是一個定值,并求出該定值.

【答案】(1) 曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,焦點(diǎn)坐標(biāo)為; (2) 見解析;(3)見證明

【解析】

(1)將a代入,兩邊平方并化簡,可得曲線C的方程及形狀;

(2)將代入曲線,利用PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求出m,驗證判別式是否成立,可得結(jié)論.

(3)將曲線C化簡,得到焦點(diǎn)坐標(biāo),求得,再求得點(diǎn)到直線的距離,代入化簡得到定值.

(1)當(dāng)時,,兩邊平方并化簡得,

∴曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,其長半軸長為1,短半軸長為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為

(2)將代入,消去

,由題意,,

,解得(舍),此時,,

設(shè),,

代入,得,則,

的中點(diǎn)坐標(biāo)為在對稱軸上,∴,解得,

不滿足,∴曲線上不存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱;

(3),兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為、,

,即,

替換中的,

可得,∴,

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