【題目】如圖，在正三棱柱中，，P是的中點．

（1）求平面將三棱柱分成的兩部分的體積之比；

（2）求平面與平面ABC所成二面角的正切值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)，分別求出，，即可得體積比；

（2）取的中點，連接，通過及，可得面，根據(jù)計算可得，不妨設(shè)，則，由題可得在面上的投影為，設(shè)平面與平面ABC所成二面角的大小為，求出，，可得，進而可得正切值.

解：（1）設(shè)，

則，

，

則平面將三棱柱分成的兩部分的體積之比為；

（2）如圖：取的中點，連接，

由已知得面面，又，

則面，又面，

，又，且，

則面，

，則，

，

，，

不妨設(shè)，則，

則，，

則，

，

由題可得在面上的投影為，

設(shè)平面與平面ABC所成二面角的大小為，

則，

所以平面與平面ABC所成二面角的正切值為.

練習冊系列答案
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【題目】在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧時粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（ ）

A.B.C.D.

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(1)求橢圓C的方程;

(2)試問在x軸上是否存在一個定點N,使得直線PQ必過該定點N?若存在,求出點N的坐標,若不存在,說明理由.

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【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：

x

1

2

3

4

5

y(萬人)

20

50

100

150

180

（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；

（2）該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.

附：在線性回歸方程中，.

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參考數(shù)據(jù)：，其中.

（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，運用獨立性檢驗思想，指出有多大把握認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習有影響？

（2）研究小組將該樣本中不使用手機且成績優(yōu)秀的同學(xué)記為組，使用手機且成績優(yōu)秀的同學(xué)記為組，計劃從組推選的4人和組推選的2人中，隨機挑選兩人來分享學(xué)習經(jīng)驗.求挑選的兩人中一人來自組、另一人來自組的概率.

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【題目】如下面左圖，在直角梯形中，，，，，，點在上，且，將沿折起，得到四棱錐（如下面右圖）.

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（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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（1）求的值；

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（參考數(shù)據(jù)，）

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