【題目】如圖所示,A,B分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左右頂點,F為其右焦點,2是|AF|與|FB|的等差中項,是|AF|與|FB|的等比中項.點P是橢圓C上異于A,B的任一動點,過點A作直線l⊥x軸.以線段AF為直徑的圓交直線AP于點A,M,連接FM交直線l于點Q.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試問在x軸上是否存在一個定點N,使得直線PQ必過該定點N?若存在,求出點N的坐標,若不存在,說明理由.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意，用a、c表示出|AF|、|FB，再根據(jù)等差中項與等比中項定義求出a、b、c，進而求得橢圓方程。

(2)假設存在這樣的定點。設出動點P，由P再橢圓上，用x0表示y0，再表示出FM的方程，聯(lián)立FM與直線，得交點Q，進而求得過定點的坐標。

(1)由題意得|AF|=a+c,|FB|=a-c,

即

解得a=2,c=1,∴b2=4-1=3.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)假設在x軸上存在一個定點N(n,0),使得直線PQ必過定點N(n,0).

設動點P(x0,y0),由于P點異于A,B,故y0≠0,

由點P在橢圓上,故有=1,

∴. ①

又由(1)知A(-2,0),F(1,0),

∴直線AP的斜率kAP=.

又點M是以線段AF為直徑的圓與直線AP的交點,∴AP⊥FM.

∴kAP·kMF=-1kMF=-=-.

∴直線FM的方程y=-(x-1).

聯(lián)立FM,l的方程

得交點Q.

∴P,Q兩點連線的斜率kPQ=, ②

將①式代入②式,并整理得kPQ=,

又P,N兩點連線的斜率kPN=.

若直線QP必過定點N(n,0),則必有kPQ=kPN恒成立,即,

整理得4=-3(x0+2)(x0-n), ③

將①式代入③式,得4×=-3(x0+2)(x0-n),解得n=2,故直線PQ過定點(2,0).

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